我们随意地接受任何可能的小数展开的时候，就打开了通往超越数的大门。那些数超出了能从欧氏几何和普通代数方程产生的数的范围。康托尔的证明告诉我们，超越数是存在的，并且有无穷多个。因为假如它们仅仅组成一个有限的集合，那么它们就可以被放在我们的代数数（非超越数）的表单的开头，这样就产生了一张全体实数的列表，而我们已知这是不可能的。令人惊异的是，我们发现了这些奇怪的数是存在的，却还没有指认出其中的任何一个！仅通过互相比较某些无限集合，我们就揭示了这些数的存在。在我们熟悉的代数数和所有小数展开的集合中间，有着巨大的空隙，而超越数正是填充这些空隙的数。用一个天文学的比喻来说，超越数就是数的世界中的暗物质。
从有理数到实数，用数学家们的话来说，我们是从一个集合转到了另一个势[2]（cardinality）更大的集合。如果两个集合的元素可以一对一地匹配起来，那么它们就等势。用康托尔的方法可以证明，任何集合的势都小于由它的所有子集组成的集合的势。这对于有限集合来说是显然的：在第5章我们已经解释了如果一个集合有n个元素，那么可以构造出2n个子集。但是，自然数这个无限集合{1，2，3，…}的所有子集组成的集合S到底有多大呢？这个问题不光本身很有趣，我们得到答案的方式也耐人寻味。结论是S确实是不可数的。